一个三角形不等式猜想的证明及联想
摘要：我首先给出一个三角形不等式猜想的证明，其次与其它三角形不等式相联系，进一步联想出若干新三角形不等式，其目的想培养学生创新能力！
关键词：三角形不等式; 猜想；证明;联想；新三角形不等式; 创新能力！
为供读者阅读方便，特将有关符号规定为:a、b、c、R、r、p和S分别为△ABC的三条边、外接圆半径、內切圆半径、半周长和面积。
图片
、图片
、图片
分别为△ABC的三中线长。众所周知，在△ABC中，有
图片
，图片
，因此我猜想有下面的：定理1. 在△ABC中，求证
图片
，等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。
证明 在△ABC 中，有p2≤4R2＋4Rr＋3r2 ，于是得ab＋bc＋ac＝p2＋4Rr＋r2≤4(R＋r)2,
又ab＋bc＋ac≥3
图片
,整理得 abc≤图片
(R＋r)3，又图片
＋图片
＋图片
≥3图片
,从而得.图片
,其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.定理1是一个极好的三角形不等式，它与其它三角形不等式相联系，可联想出许多新三角形不等式，详述如下:
定理2.在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[1]
图片
。 1由1和定理1可证得定理2。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论1.
图片
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
图片
。n图片
.请读者自证。定理3. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明: 在△ABC中，有[2]
图片
2由2和定理1可得定理3. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论2.
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
图片
n图片
. 定理4. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[3]
图片
3，由3和定理1可得定理4. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论3.
图片
推论4
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
图片
图片
n图片
. 定理5. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[4] ，
图片
4，由4和定理1可得定理5. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论5 。
图片
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
图片
n图片
。定理6. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[5]
图片
5，由5可得图片
，，由上式和定理1可得定理6. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论6.
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
，图片
。n图片
定理7. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[6]
图片
6，上式两边同乘图片
得图片
，上式整理得图片
，在△ABC中，有图片
，由上两式可得图片
，7由上式和定理1可得定理7。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论7.
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
，图片
n图片
。定理8. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有【7】
图片
8，由7和8可得图片
，由上式和定理1可得定理8。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论8.
图片
定理9. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.证明 在△ABC中，有
图片
，上式变为图片
9,由9和定理1可得定理9.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论9.
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
，
图片
n图片
。定理10. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有
图片
10，由10和定理1可得定理10.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论10
图片
一般地，在△ABC中，有，
图片
图片
n图片
。定理11. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.证明 在△ABC中，有[8]
图片
11 ，由11和定理1可得定理11，其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论
图片
一般地，在△ABC中，有，
图片
图片
定理12. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[9]
图片
12，由12和定理1可得定理12. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论12.
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
图片
。定理13. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 由中线公式
图片
，由余弦定理图片
，由上两式整理得图片
，13同理得图片
，14图片
15，由13、14和15整理得图片
，16由16和定理1可得定理13。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论13
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
，图片
定理14. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[10]
图片
17 ，由17和定理1可得定理14。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论14.
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
，图片
图片
。定理15. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.证明 在△ABC中，有[11]
图片
，18。由18和定理1可得定理15。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论15.
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
，图片
图片
定理16. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.证明 在△ABC中，有[12]
图片
19 ，由19和定理1可得定理16。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论16.
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
图片
定理17. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.证明 在△ABC中，有[13]
图片
20，由20和定理1可得定理17。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论17.
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
，图片
。定理18. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.证明 在△ABC中，有[14]
图片
21 ，由21和定理1可得定理17. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论18.
图片
一般地，在△ABC中，有
图片
，图片
定理19. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 由16和20整理得
图片
由16可得
图片
，由上两式可得图片
，由上式可推得
图片
，如此反复推演可得图片
22。由22和定理1可得定理19. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论19.
图片
定理20. .在△ABC中，求证
图片
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明: 由22可得
图片
23，由23和定理1可得定理20。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.推论20.
图片
。
上述诸定理及推论与其它三角形不等式相联系，又可得许多新三角形不等式，今举几例，其它读者仿此导出。
例1. 在△ABC中，求证
图片
证明 在△ABC中，有
图片
，由上式和定理2可得例1。例2. 在△ABC中，求证
图片
证明 在△ABC中，有
图片
，由上式和定理2可得例2。例3. 在△ABC中，求证
图片
证明. 在△ABC中，有
图片
，由上式可推论1可得例3.
限于篇幅，其它诸例不再祥述。
结束语:
对一个三角不等式进行猜想、联想，往往可得到许多新结论，我认为这样的思维方式可培养学生创新能力！
参考文献
[1] 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集[M] p253
[2] 任迪慧 关于常见三角形不等式结论的更新[j] <<数学教学研究>>2002 2:39
[3] 任迪慧 关于常见三角形不等式结论的更新[j] <<数学教学研究>>2002 2:41
[4] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P91
[5] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P91
[6] 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集[M] p255
[7] 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集[M] p258
[8] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P94
[9] 任迪慧 常见三角形不等式结论的更新[j]<< 中国初等数学研究>>No.4 2012 p46
[10] 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集[M] p260
[11] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P93
[12] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P93
[13] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P68
[14] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P95
本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。